函数与极限

1 、函数的有界性在定义域内有 f(x) ≥ K1 则函数 f(x) 在定义域上有下界， K1 为下界 ; 如果 有 f(x) ≤ K2 ， 则有上界 ， K2 称为上界 。 函数 f(x) 在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内 既有上界又有下界。

2 、数列的极限定理 ( 极限的唯一性 ) 数列 {xn} 不能同时收敛于两个不同的极限。 定理 ( 收敛数列的有界性 ) 如果数列 {xn} 收敛，那么数列 {xn} 一定有界。 如果数列 {xn} 无界，那么数列 {xn} 一定发散 ; 但如果数列 {xn} 有界，却不能断定数列 {xn} 一定 收敛 ， 例如数列 1 ， -1 ， 1 ， -1 ， (-1)n 1 … 该数列有界但是发散 ， 所以数列有界是数列收敛 的必要条件而不是充分条件。 定理 ( 收敛数列与其子数列的关系 ) 如果数列 {xn} 收敛于 a ，那么它的任一子数列也收敛于 a. 如果数列 {xn} 有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列 {xn} 是发散的，如数列 1 ， -1 ， 1 ， -1 ， (-1)n 1 … 中子数列 {x2k-1} 收敛于 1 ， {xnk} 收敛于 -1 ， {xn} 却是发散的 ; 同时一个发散的 数列的子数列也有可能是收敛的。

3 、函数的极限函数极限的定义中 0 定理 ( 极限的局部保号性 ) 如果 lim(x → x0) 时 f(x)=A ， 而且 A>0( 或 A0( 或 f(x)>0) ， 反之也成 立。