录播+直播
录播+直播
录播+直播
录播+直播
录播+直播
录播+直播
录播+直播
录播+直播
录播+直播
录播+直播
录播+直播
录播+直播
新东方考研英语首席主讲,写作辅导实力教师,新东方20周年功勋教师,英语学习畅销书作者。北京外国语大学英语语言文学学士,北京大学硕士,曾任中国政府代表团高级翻译出访欧美。多年考研英语教学经验。代表作:《考研英语高分写作》、《考研英语高分写作字帖》、《十天搞定考研词汇》等。
新东方在线实力教师,新东方20周年功勋教师。主讲四六级翻译。新东方教育科技集团教学培训师,新东方教育集团优秀教师。毕业于吉林大学,07年加入沈阳新东方学校。主授国内考试课程,横跨综合、词汇和阅读各类课程。英文底蕴深厚,课程充实紧凑,对考试分析透彻,考点把握精确。
美国加州州立大学博士后,斯坦福大学访问学者。从事考研数学辅导十多年,把教学当乐趣,潜心研究考题,原创了很多快捷解法和秒杀公式,同时又提出在基础阶段练好三大计算(求极限导数积分)。
新东方考研政治学科负责人、主讲老师,集团优秀教师,马克思主义中国化硕士,十年考研政治一线教学经验,考研政治全能型教师,擅于从命题人的角度剖析知识考点,梳理重点难点。使学员轻松愉快的掌握破题套路,玩转考研政治。授课逻辑清晰、语言风趣幽默,深受学员欢迎的"好老师"。
北京工业大学工科硕士,新东方在线管综数学教师,教学经验丰富,秉承"审题+结论=玩转教学!" 的教学理念,倡导"做题、变题、讲题"三步学习法,通过独特的思维训练让学员轻松提分。
专业名师
精选名师授课教研团队
数百人教研团队授课方法
直播、录播结合培训经验
十数年辅导经验高清视频
涵盖考试重点难点上市机构
纽交所上市公司正规公司
公司备案资质完整百强品牌
连获多项大奖考研数学:线代知识框架
回到线性方程组的解的问题,即一个向量b在什么情况下能由另一个向量组a1,a2,...,an线性表出?如果这个向量组本身是线性无关的,可通过分析立即得到答案:b,a1,a2,...,an线性相关。如果这个向量组本身是线性相关的,则需进一步探讨。
任意一个向量组,都可以通过依次减少这个向量组中向量的个数找到它的一个部分组,这个部分组的特点是:本身线性无关,从向量组的其余向量中任取一个进去,得到的新的向量组都线性相关,我们把这种部分组称作一个向量组的极大线性无关组。
如果一个向量组A中的每个向量都能被另一个向量组B线性表出,则称A能被B线性表出。如果A和B能互相线性表出,称A和B等价。
一个向量组可能又不止一个极大线性无关组,但可以确定的是,向量组和它的极大线性无关组等价,同时由等价的传递性可知,任意两个极大线性无关组等价。
注意到一个重要事实:一个线性无关的向量组不能被个数比它更少的向量组线性表出。这是不难理解的,例如不共面的三个向量(对应线性无关)的确不可能由平面内的两个向量组成的向量组线性表出。
一个向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量个数相等,我们将这个数目r称为向量组的秩。
向量线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量的数目。等价的向量组有相同的秩。
有了秩的概念以后,我们可以把线性相关的向量组用它的极大线性无关组来替换掉,从而得到线性方程组的有解的充分必要条件:若系数矩阵的列向量组的秩和增广矩阵的列向量组的秩相等,则有解,若不等,则无解。
向量组的秩是一个自然数,由这个自然数就可以判断向量组是线性相关还是线性无关,由此可见,秩是一个非常深刻而重要的概念,故有必要进一步研究向量组的秩的计算方法。