考研基础数学学习

考研数学：搞定中值定理
微分中值定理及其应用最难的是三个微分中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。它们是考研数学的重难点，现分别从涉及的知识点、考查方式、方法选择、真题链接等四个方面进行分析。

一、涉及的知识点及考查形式
可涉及微分中值定理及其应用的知识点有，微分中值定理，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值，弧微分(数一、数二要求)，曲率的概念(数一、数二要求)，曲率圆与曲率半径(数一、数二要求)。
微分中值定理以间接考查或与其他知识点综合出题的比重很大，也可以直接出题，所以考查形式有多种。如利用导数的几何意义考查函数的特性，讨论导数零点存在性或方程根个数问题，不等式的证明，证明含中值的等式，求极限等。

二、方法选择
题目考查微分中值定理，那么选择哪一中值定理成为解题的关键。
针对题目的特点，可根据如下情况选择对应的微分中值定理：如果结论不包含端点，优先考虑罗尔定理；如果结论中包含端点，则考虑拉格朗日中值定理或柯西定理。那么选择拉式还是柯西定理，需要对结论做进一步的处理，化为定理的标准形式。如第一个标准，左边是只含端点，右边只含中值；第二个标准，左边进一步处理，分子分母减号，一侧只含右端点，一侧只含左端点。整理后，如果分母是端点相减，则选择拉格朗日定理；否则，选择柯西定理。

三、求解步骤及历年真题解析
涉及到微分中值定理，一般首先要找辅导函数。针对拉式中值定理和柯西定理，经过对要证明的结论化为标准形式，可直接得出辅助函数。而罗尔定理，需要把结论化为微分方程的一般形式，使用积分因子法可找到。
有了辅助函数，根据中值定理，列出定理对应的三个条件，得出结论。