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在线答疑、课后同类题练习、讲义下载、短信提醒定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 (a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。
①②的证明留给读者,以下给出③的证明:
∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称,
∴f (x) f (2a-x) =2c,用2b-x代x得:
f (2b-x) f [2a-(2b-x) ] =2c………………(*)
又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称,
∴ f (2b-x) = f (x)代入(*)得:
f (x) = 2c-f [2(a-b) x]…………(**),用2(a-b)-x代x得
f [2 (a-b) x] = 2c-f [4(a-b) x]代入(**)得:
f (x) = f [4(a-b) x],故y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。