高三数学教案 直线与圆锥曲线的位置
一、基本知识概要：
1.直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离。
从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离;有两组解必相交;一组解时，若化为x或y的方程二次项系数非零，判别式⊿=0时必相切，若二次项系数为零，有一组解仍是相交。
2. 弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。
焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦;
通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径。
3.①当直线的斜率存在时，弦长公式：
= 或当 存在且不为零时
，(其中( )，( )是交点坐标)。
②抛物线 的焦点弦长公式|AB|= ，其中α为过焦点的直线的倾斜角。
4.重点难点:直线与圆锥曲线相交、相切条件下某些关系的确立及其一些字母范围的确定。
5.思维方式: 方程思想、数形结合的思想、设而不求与整体代入的技巧。
6.特别注意:直线与圆锥曲线当只有一个交点时要除去两种情况，些直线才是曲线的切线。一是直线与抛物线的对称轴平行;二是直线与双曲线的渐近线平行。
二、例题：
【例1】直线y=x 3与曲线 ( )
A。没有交点 B。只有一个交点 C。有两个交点 D。有三个交点
〖解〗：当x>0时，双曲线 的渐近线为： ，而直线y=x 3的斜率为1，1<3/2，因此直线与双曲线的下支有一交点，又y=x 3过椭圆 的顶点，k=1>0因此直线与椭圆左半部分有一交点，共计3个交点，选D
[思维点拔]注意先确定曲线再判断。
【例2】已知直线 交椭圆 于A、B两点，若 为 的倾斜角，且 的长不小于短轴的长，求 的取值范围。
解：将 的方程与椭圆方程联立，消去 ，得
由 ，
的取值范围是
[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于 的方程由 给出，所以可以认定 ，否则涉及弦长计算时，还要讨论 时的情况。
【例3】已知抛物线 与直线 相交于A、B两点
(1) 求证：
(2) 当 的面积等于 时，求 的值。
(1) 证明：图见教材P127页，由方程组 消去 后，整理得 。设 ，由韦达定理得 在抛物线 上，
(2) 解：设直线与 轴交于N，又显然 令
[思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的
能力。
【例4】在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx 3对称，求k的取值范围。
〖解〗设B、C关于直线y=kx 3对称，直线BC方程为x=-ky m代入y2=4x得：
y2 4ky-4m=0， 设B(x1，y1)、C(x2，y2)，BC中点M(x0，y0)，则
y0=(y1 y2)/2=-2k。x0=2k2 m，
∵点M(x0，y0)在直线上。∴-2k(2k2 m) 3，∴m=- 又BC与抛物线交于不同两点，∴⊿=16k2 16m>0把m代入化简得 即 ，
解得-1
[思维点拔]对称问题要充分利用对称的性质特点。
【例5】已知椭圆的一个焦点F1(0，-2 )，对应的准线方程为y=- ，且离心率e满足：2/3，e，4/3成等比数列。
(1) 求椭圆方程;
(2) 是否存在直线 ，使 与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x=- 平分。若存在，求 的倾斜角的范围;若不存在，请说明理由。
〖解〗依题意e=
(1)∵ -c= -2 = ，又e= ∴ =3，c=2 ，b=1，又F1(0，-2 )，对应的准线方程为y=- 。∴椭圆中心在原点，所求方程为：
=1
(2)假设存在直线 ，依题意 交椭圆所得弦MN被x=- 平分，∴直线 的斜率存在。设直线 ： 由
=1消去y，整理得
=0
∵直线 与椭圆交于不同的两点M、N∴⊿=4k2m2-4(k2 9)(m2-9)>0
即m2-k2-9<0 ①
设M (x1，y1)、N(x2，y2)
∴ ，∴ ②
把②代入①可解得：
∴直线 倾斜角
[思维点拔] 倾斜角的范围，实际上是求斜率的范围。
三、
课堂小结：
1、 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助于图形的几何性质更为方便。
2、 涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用点差法，但必须是有交点为前提，否则不宜用此法。
3、求圆锥曲线的弦长，可利用弦长公式
= 或当 存在且不为零时
，(其中( )，( )是交点坐标。
再结合韦达定理解决，焦点弦长也可利用焦半径公式处理，可以使运算简化。
四、作业布置：教材P127闯关训练。
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